Можно ли сделать бота Telegram, который записывает в таблицу?

Да, без своего сервера. Бот подключается к вебхуку скрипта одной функцией, после этого каждое сообщение пользователя записывается строкой в таблицу, а бот отвечает от своего имени. Так собирают заявки, отчёты сотрудников, показания счётчиков.